这系列笔记记录一些学习过程中遇到的比较关键的, 书上没有的知识.
N次方差公式
$$ a^n-b^n = (a-b)(a^{n-1} + a^{n-2}b + \cdots + a b^{n-2} + b^{n-1}) $$
常用于极限的运算中, 证明略. 以下是该公式的一个常见推广:
$$ \sqrt[n]a - \sqrt[n]b = \frac{a-b}{\sqrt[n]{a^{n-1}} + \sqrt[n]{a^{n-2} b} + \cdots + \sqrt[n]{a b^{n-2}} + \sqrt[n]{b^{n-1}}} $$
将 $a$ 与 $b$ 看作 $\sqrt[n]{a^n}$ 与 $\sqrt[n]{b^n}$，即可用立方差公式得上述推广.
下面来看一个例题:
设 $f(x) > 0,\ \lim\limits_{x \to x_0} f(x) = A.$ 证明 $\lim\limits_{x \to x_0}\sqrt[n]{f(x)} = \sqrt[n]{A}$.
证明: 不妨设 $A>0.\ \forall\epsilon>0$, 由 $\lim\limits_{x \to x_0} f(x) = A$ 知, $\exists\delta>0$, 使得当 $0<\vert\ x-x_0\ \vert<\delta$ 时, $\vert\ f(x)-A\ \vert<\epsilon$. 故当 $0<\vert\ x-x_0\ \vert<\delta$ 时, 有:
$$
\begin{aligned}
\vert\ \sqrt[n]{f(x)}-\sqrt[n]A\ \vert &= \frac{\vert\ f(x)-A\ \vert}{\sqrt[n]{f^{n-1}(x)}+\sqrt[n]{f^{n-2}(x)A} + \cdots + \sqrt[n]{f(x)A^{n-2}}+\sqrt[n]{A^{n-1}}} \\
&< \frac{\vert\ f(x)-A\ \vert}{\sqrt[n]{A^{n-1}}} < \frac{\epsilon}{\sqrt[n]{A^{n-1}}}.
\end{aligned}
$$
由 $\epsilon$ 的任意性, 知 $\lim\limits_{x \to x_0}\sqrt[n]{f(x)} = \sqrt[n]{A}$. 证毕.